Rappel


Un point $M(x,y)$ en coordonnées cartésiennes possède les coordonnées polaires $M(r,\theta)$ avec

$x = rcos\theta$ et $y = rsin\theta$

dS


L'élément "infinitésimal" d'aire en coordonnées polaires vaut:

$dS = rdrd\theta$

(Pour la compréhension, rappelons que la longueur d'un arc (ici $rd\theta$) vaut le rayon multiplié par l'angle au centre exprimé en radians)

Aires


L'équation d'une courbe en coordonnées polaires est souvent réduite à la forme $r = f(\theta)$ et l'aire déterminée par la courbe et un rayon centré sur l'origine et balayant l'angle de $\theta1$ à $\theta2$ est calculée suivant:

$A = \int\int_SdS = \int_{\theta1}^{\theta2}\int_{0}^{f(\theta)}rdrd\theta = \int_{\theta1}^{\theta2}(\int_{0}^{f(\theta)}rdr)d\theta$

(Voir les exemples)