Rappel


Un point $P(x,y,z)$ en coordonnées cartésiennes possède les coordonnées polaires cylindriques $P(\theta,r,z)$ avec

$x = rcos\theta$, $y = rsin\theta$ et $z = z$

dS et dV


L'élément "infinitésimal" d'aire en coordonnées polaires vaut:

$dS = rdrd\theta$

L'élément "infinitésimal" de volume en coordonnées polaires cylindriques vaut:

$dV = rdzdrd\theta$

Volumes

Connaissant l'équation de la courbe de base du cylindre $r = f(\theta)$ et celle de la surface supérieure $z = g(r,\theta)$ on calcule le volume cylindrique , dont la base est déterminée par la courbe et un rayon centré sur l'origine et balayant l'angle de $\theta1$ à $\theta2$, de la manière suivante:

$V = \int\int\int_VdV = \int_{\theta1}^{\theta2}\int_{0}^{f(\theta)}\int_{0}^{g(r,\theta)}dzrdrd\theta = \int_{\theta1}^{\theta2}[\int_{0}^{f(\theta)}(\int_{0}^{g(r,\theta)}dz)rdr]d\theta$

Exemple


$V = \int\int\int_VdV = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{1}(\int_{0}^{\sqrt{1-r^2cos^2\theta}}dz)rdr]d\theta $

(Voir les exemples pour le détail)