Équation de $\pi$: $z=1$
Volume =
$ \int\int_D 1 dydx$
= $ \int_0^1(\int_0^1 1 dy)dx$
= $ \int_0^1 1 dx$
= 1
Équation de $\pi$: $z=ax+by+c$
$(1,1,1)\in\pi$ :$1=a+b+c$ (1)
$(1,0,1)\in\pi$ :$1=a+c$ (2)
$(0,0,\frac{3}{2})\in\pi$ :$\frac{3}{2}=c$ (2)
d'où: $\pi: z=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
Volume =
$ \int\int_D (-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}) dydx$
= $ \int_0^1(\int_0^1 (-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}) dy)dx$
= $ \int_0^1 (-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}) dx$
= $\frac{5}{4}$
$ \int\int_D (4-x-y) dydx$
= $ \int_0^4(\int_0^{4-x} (4-x-y) dy)dx$
= $ \int_0^4 [(4-x)y-\frac{y^2}{2}]_0^{4-x} dx$
= $-\int_0^4 \frac{(4-x)^2}{2} dx$
= $\frac{16}{3}$
Voici le domaine D, le solide n'est pas représenté.
$ \int\int_D (x+y) dydx$
= $ \int_0^1(\int_{x^2}^x (x+y) dy)dx$
= $ \int_0^1 [xy+\frac{y^2}{2}]_{x^2}^x dx$
= $\frac{3}{20}$
$ \int\int_D (x+y) dydx$
= $ \int_0^1(\int_{x^2}^x (x+y) dy)dx$
= $ \int_0^1 [xy+\frac{y^2}{2}]_{x^2}^x dx$
= $\frac{3}{20}$