Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y = f(x) et qui fait intervenir au moins une dérivée de y

Exemple

L'égalité $y'= 2y$ notée encore $\frac{dy}{dx}=2y$ ou $dy-2ydx=0$

Test

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L'équation $y'=x^2$

  1. est une équation différentielle
  2. possède comme solution: $y=2x$
  3. n'a qu'une seule solution
  4. possède comme solution: $y=\frac{x^3}{3}$
Toutes les solutions sont les fonctions $y=\frac{x^3}{3} + k, k\in \Re$

L'équation différentielle $y''-2y'+y=x^2$

  1. possède comme solution x=0
  2. possède comme solution: $y=x^2+4x+6$
  3. possède comme solution: $y=(2x-5)e^x+x^2+4x+6$
  4. possède comme solutions toutes les fonctions $y=x^2+4x+6 + k, k\in \Re$
Calculez l'expression $y''-2y'+y$ pour les deux fonctions des alternatives 2 et 3, vous trouverez chaque fois comme résultat $x^2$ !

L'équation $xdy-ydx=x\sqrt{x^2-y^2}dy$ équivaut à:

  1. l'équation: $x(1-\sqrt{x^2-y^2})y'-xy=0$
  2. l'équation: $y'=\frac{y}{x(1-\sqrt{x^2-y^2})}$
  3. l'équation: $xy'-y=x\sqrt{x^2-y^2}dy$
  4. l'équation: $\frac{1-\sqrt{x^2-y^2}}{y}dy-\frac{dx}{x}=0$
On calcule avec $dy$ et $dx$ comme s'il s'agissait de réels, la forme "correcte " d'une équation différentielle est toujours celle en $y,y',y'' etc..$ à laquelle il faut pouvoir se ramener.

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