Démontrer

Éléments du triangle quelconque: Cercle d'Euler.

Soit ABC un triangle non isocèle. A' , B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC] , [AC] et [AB] . Construire à l'aide des médiatrices le cercle O circonscrit au triangle ABC (on appellera O son centre, A', B' et C' les milieux des côtés [BC],[AC]et [AB]). Construire ensuite son orthocentre H (I, J et K sont les pieds des hauteurs sur [BC],[AC]et [AB]). Soient L, M et N les milieux des segments [AH],[BH]et [CH]. Soit E le milieu de [HO] Le but de ce problème est de démontrer que les points A',B',C',I,J,K,L,M et N appartiennent à un cercle C appelé cercle d'Euler ou cercle des 9 points de centre E et de rayon moitié de celui du cercle O.

1. Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle C . De quelle nature sont les triangles ACD et ABD ? Justifier.
2. Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, tout comme (CH) et (BD) .
3. En déduire que A' est le milieu de [HD] .
4. Nous partons maintenant des points L et A': Démontrer que (LHA'O) est un parallélogramme.
5. Démontrer que E est milieu de [LA'].
6. On considère le cercle C de centre E et de rayon EL = EA'. Démontrer que son rayon est moitié de celui du cercle O .
7. Démontrer que N appartient à C.
8. Démontrer que M appartient à C.
9. Maintenant l'étape la plus astucieuse de la démonstration: En partant des points L et A' nous avons pu démontrer que I, M et N appartiennent au cercle C de diamètre [LA'] et de centre E. Si nous faisons la même procédure en partant des points N et C', quels seront les points dont nous pouvons démontrer l'appartenance au cercle C' de diamètre [NC'] et de centre E?
10. Et encore:En partant des points M et BC', quels seront les points dont nous pouvons démontrer l'appartenance au cercle C''' de diamètre [MB'] et de centre E?
11. Que peut on dire des cercles C , C' et C''' ?

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