Démontrer

Éléments du triangle quelconque: Droite d'Euler.

Soit ABC un triangle non isocèle. A' , B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC] , [AC] et [AB] . Construire le cercle C circonscrit au triangle ABC (on appellera O son centre). Construire ensuite son orthocentre H et son centre de gravité G . Le but de ce problème est de démontrer que les points O , H et G sont alignés.

1. Donner une relation entre les distances A'G et A'A .
2. Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle C . De quelle nature sont les triangles ACD et ABD ? Justifier.
3. Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, tout comme (CH) et (BD) .
4. En déduire que A' est le milieu de [HD] .
5. Que représentent les droites (HO) et (AA') pour le triangle AHD ?
6. Soit G' le point d'intersection de (HO) et (AA'). Donner une relation entre entre les distances A'G' et A'A .
7. Déduire de (1) et (5) que les points O , H et G sont alignés. La droite (OH) est appelée "droite d'Euler du triangle ABC ", du nom du mathématicien suisse Léonhard Euler, 1707-1783.

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