Question:

On considère les nombres complexes $z_1=\frac{3}{1-i}-\frac{2i}{1+i}$ et $z_2=\frac{3\sqrt{3}+i}{2+i\sqrt{3}}i$.

1) Mettre $z_1$, $z_2$et $Z=\frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique..

2) En déduire les valeurs exactes de $\cos \frac{5\pi }{12}$et t$\sin \frac{5\pi }{12}$.

Réponse:

$z_1=\frac{3}{1-i}-\frac{2i}{1+i}=\frac{3(1+i)-2i(1-i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ (forme algébrique)

$z_1=\frac{1}{2}(1+i)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$cis$\frac{\pi }{4}$ (forme trigonométrique)

$z_2=\frac{3\sqrt{3}+i}{2+i\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{3}+i)(2-\sqrt{3}i)}{(2+i\sqrt{3\left)\right(2-i\sqrt{3)}}}=\frac{7\sqrt{3}-7i}{7}=\sqrt{3-i}$(forme algébrique)

$z_2=\sqrt{3}-i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)=2$cis$(-\frac{\pi }{6})$ (forme trigonométrique)

Forme algébrique de $Z=\frac{z_1}{z_2}$:

$Z=\frac{\frac{1}{2}(1+i)}{\sqrt{3}-i}=\frac{1}{2}·\frac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3-i\left)\right(\sqrt{3}+i)}}=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}+i+i\sqrt{3}-1}{3+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{8}+\frac{\sqrt{3}+1}{8}i$

Forme trigonométrique de $Z=\frac{z_1}{z_2}$:

$Z=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cis}\frac{\pi }{4}}{2\mathrm{cis}(-\frac{\pi }{6})}$

$=\frac{\sqrt{2}}{4}$cis$[\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{6}\left)\right]$

$=\frac{\sqrt{2}}{4}$cis$\frac{5\pi }{12}$ (forme trigonométrique)

Par identification des deux formes:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$cos$\frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{8}$ et $\frac{\sqrt{2}}{4}\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{8}$

$\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ et $\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$$