Baccalauréat - Luxembourg - juin 2005 - section D - I.1

Soit le polynôme $P (z) = z^{3} + (3 - 4 i) z^{2} + (- 1 - 11 i) z - 6 i - 6$ .

Résoudre dans $ℂ$ l'équation $P (z) = 0$ sachant que le polynôme admet une racine imaginaire pure.

$P (z) = + (3 - 4 i) z^{2} + (- 1 - 11 i) z - 6 i -$ 6

Soit $z_{0} = bi, b \in ℝ$ une racine imaginaire pure.

$P (z_{0}) = 0$

⇔ ${(bi)}^{3} + (3 - 4 i) {(bi)}^{2} + (- 1 - 11 i) bi - 6 i - 6 = 0$

⇔ - $b^{3} i$ -3 $b^{2} + 4 b^{2} i - bi + 11 b - 6 i - 6 = 0$

⇔ (-3 $b^{2} + 11 b - 6) + (- b^{3} + 4 b^{2} - b - 6) = 0$

⇔ $\begin{matrix} (1) & - 3 b^{2} + 11 b - 6 = 0 \\ (2) & - b^{3} + 4 b^{2} - b - 6 = 0 \end{matrix}$

(1) fournit: $b = 3$ ou $b = \frac{2}{3}$

Dans (2):

$\begin{matrix} b = 3 : & 27 - 36 + 3 + 6 = 0 \\ b = \frac{2}{3} : & \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{2}{3} + 6 \neq 0 \end{matrix}$

d'où la solution: $z_{0} = bi = 3 i$

P(z) est divisible par $z - z_{0} = z - 3 i$ :

P(z)= $(z - 3 i) Q (z)$ où Q(z)= $z^{2} + (3 - i) z + 2 - 2 i$

Racines de Q(z):

$Δ = {(3 - i)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 2 i)$

$= 2 i$

$= {(1 + i)}^{2}$

d'où:

$z = \frac{- (3 - i) + (1 + i)}{2 \cdot 1} = - 1 + i$

ou $z = \frac{- (3 - i) - (1 + i)}{2 \cdot 1} = - 2$

Finalement:

$S = {3 i, - 1 + i, - 2}$