Baccalauréat - Luxembourg - juin 2006 - section B - I.1

Question:

$Soient les complexes$ $z_{1} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$ et $z_{2} = 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} i$ .1) Calculer $z_{1}^{5}$ , $z_{2}^{2}$ et $\frac{z_{1}^{5}}{z_{2}^{2}}$ à l'aide des formes algébriques.

2) Trouver les formes trigonométriques de $z_{1}$ et $z_{2}$ ; en déduire celle de $\frac{z_{1}^{5}}{z_{2}^{2}}$ .

3) Déduire de (1) et (2) les valeurs exactes de $\cos \frac{π}{12}$ et $\sin \frac{π}{12}$ .

Réponse:

1) $z_{1} = - \sqrt{2} + \sqrt{2}$ ; $z_{1}^{2} = - 4 i$ ; $z_{1}^{4} = - 16$ ; $z_{1}^{5} = 16 \sqrt{2} (1 - i)$

$z_{2} = 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} i$ ; $z_{2}^{2} = 12 (1 - \sqrt{3} i)$

$\frac{z_{1}^{5}}{z_{2}^{2}} = \frac{16 \sqrt{2} (1 - i)}{12 i} = \frac{4 \sqrt{2} (1 - i) (1 + \sqrt{3} i)}{3 (1 + 3)} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

2) $z_{1} = 2 cis \frac{3 π}{4}$ ; $z_{2} = 2 \sqrt{6} cis (- \frac{π}{6})$

$\frac{z_{1}^{5}}{z_{2}^{2}}$ = $\frac{2^{5} cis \frac{15 π}{4}}{24 cis (- \frac{π}{3})} = \frac{4}{3} cis (\frac{15 π}{4} + \frac{π}{3}) = \frac{4}{3} cis \frac{49 π}{12} = \frac{4}{3} cis \frac{π}{12}$

3) $\cos \frac{π}{12} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) 3}{3 • 4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

sin $\frac{π}{12} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) 3}{3 • 4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$