Baccalauréat - Luxembourg - juin 2006 - section B - I.1

Question:

Soit dans ℂ le polynôme P donné par:

$P\left(z\right)=z^4+(-6+4i)z^3+(-2-5i)z^2+(7-35i)z-42-18i$

a) Déterminer le nombre réel a pour que $z_0=a$soit une racine de l 'équation P(z)=0

b) Déterminer Q(z) qui vérifie $P\left(z\right)=(z+2)Q\left(z\right)$

c) Déterminer le nombre réel b pour que z=bi soit une racine de l'équation Q(z)=0

d)Résolvez l'équation $P\left(z\right)=0$. Soient A,B,C,D les points du plan complexe ayant comme affixes les racines de cette équation. Quelle est la figure géométrique formée par ces points?

Réponse:

a) Pour $z=a\in ℝ$

$a^4+(-6+4i)a^3+(-2-5i)a^2+(7-35i)a-42-18i=0$

⇒$(a^4-6a^3-2a^2+7a-42)+(4a^3-5a^2-35a-18)=0$

$\begin{array}{cc}\left(1\right)& a^4-6a^3-2a^2+7a-42=0\\ \left(2\right)& 4a^3-5a^2-35a-18=0\end{array}$

Résoudre (2):

$P(-2)=-32-20+70-18=0$

dans (1):

$a=-2$ →$16+48-8-14-42=0$

donc $a=-2$ est une solution de la première équation.

b)

	1	-6+4i	-2-5i	7-35i	-42-18i
-2		-2	16-8i	-28+26i	42+18i
	1	-8+4i	14-13i	-21-9i	∥0

$\left(z+2\right)(z^3+\left(-8+4i\right)z^2+(14-13i)z+(-21-9i\left)\right)=0$

c)

$z=\mathrm{bi}$

→

$-b^{3}i-b^2(-8+4i)+(14-13i)\mathrm{bi}+(-21-9i)=0$

$(8b^2+13b-21)+(-b^3-4b^2+14b-9)i=0$

$\begin{array}{cc}\left(1\right)& 8b^2+13b-21=0\\ \left(2\right)& -b^3-4b^2+14b-9=0\end{array}$

(1) donne $b=-\frac{21}{8}$ou $b=1$

$b=1$ vérifie (2), donc $z=i$ est une racine

d)

	1	-8+4i	14-13i	-21-9i
i		i	-8i-5	9i+21
	1	-8+5i	9-21i	∥ 0

$(z+2)(z-i)[z^2+(-8+5i)z+(9-21i\left)\right]=0$ Δ=${(-8+5i)}^2-4(9-21i)=3+4i$ $\begin{array}{c}{a}^2-b^2=0\\ 2\mathrm{ab}=4\\ a^2+b^2=5\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}2a^2=8\\ a^2=4\end{array}$ $a=2\Rightarrow b=1$ $a=-2\Rightarrow b=-1$ ⇒Δ =${(2+i)}^2$ $z=\frac{8-5i\pm (2+i)}{2}$ $S=\{-2,i,5-2i,3-3i\}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$(2,i) $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$(2,i) donc (A,D,C,B) est un paralélogramme