On considère le polynôme à coefficients complexes $\text{P(z)=2}{z}^2+\mathrm{\alpha z}+\beta$.

Déterminer les coefficients α et β sachant que -i est une racine de P et que le rste de la division de P par z+3i est -18.

Déterminer ensuite la deuxième racine de P.

Réponse:

$\text{P(i)=0⇔2}$$i^2-\mathrm{\alpha i}+\beta =0\iff -\mathrm{\alpha i}+\beta =2$(1)

$\text{P(-3i)=-18⇔2.9}{i}^2-3\mathrm{\alpha i}+\beta =-18\iff -3\mathrm{\alpha i}+\beta =0$(2)

D'où: $$$\text{α=-i}$ et $\text{β=3}$

$\text{P(z)=2}{z}^2-\mathrm{iz}+3$

Schéma de Horner:

	2	-i	3
-i		-2i	-3
	2	-3i	0

$\text{P(z)=(z+i)(2z-3i)}$

La 2e racine est donc: $\text{<mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow>}$