Baccalauréat - Luxembourg - juin 2006 - section B - I.2

Question:

Soit le nombre complexe $\text{z=}\sqrt{6-3\sqrt{2}}-i\sqrt{6+3\sqrt{2}}$

a) Calculer $z^4$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique

b) En déduire la forme trigonométrique de $z$

c) Déterminer la valeur exacte de $\cos \frac{\pi }{8}$ et $\sin \frac{\pi }{8}$

Réponse:

$\text{z=}\sqrt{6-3\sqrt{2}}-i\sqrt{6+3\sqrt{2}}$

a) $z^2=6-3\sqrt{2}+i^2(6+3\sqrt{2})-2i\sqrt{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})}$

$=-6\sqrt{2}-2i\sqrt{36-18}$

$=-6\sqrt{2}-6\sqrt{2}(1+i)$

$z^4={\left(z^2\right)}^2=72(1+i^2+2i)=144i$

$z^4=144\mathrm{cis}\frac{\pi }{2}$

b) Calculons les racines quatrièmes de $144\mathrm{cis}\frac{\pi }{2}$:

$z_k=\sqrt[4]{144}\mathrm{cis}(\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4})$avec $k=\mathrm{0,1,2,3}$

$\sqrt[4]{144}=\sqrt[4]{2^4{3}^2}=2\sqrt{3}$

$z_0=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\frac{\pi }{8}$ , $R\left(z_0\right)>0$ et $I\left(z_0\right)>0$

$z_1=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\frac{5\pi }{8}$,$R\left(z_1\right)<0$ et $I\left(z_1\right)>0$

$z_2=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\frac{9\pi }{8}$,R$\left(z_2\right)<0$ et $I\left(z_2\right)<0$

$z_3=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\frac{13\pi }{8}$,$R\left(z_3\right)>0$ et $I\left(z_3\right)<0$

Comme $R\left(z\right)>0$ et $I\left(z\right)<0$, on a : $z=z_3=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\frac{13\pi }{8}$

c) $z=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\frac{13\pi }{8}$⇒$\{\begin{array}{c}\cos \frac{13\pi }{8}=\frac{\sqrt{6-3\sqrt{2}}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\\ \mathrm{sim}\frac{13\pi }{6}=-\frac{\sqrt{6+3\sqrt{2}}}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\end{array}$

or $\cos \frac{13\pi }{8}=\sin \frac{\pi }{8}\Rightarrow \sin \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$

sin$\frac{13\pi }{8}=-\cos \frac{\pi }{8}\Rightarrow \cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$