Baccalauréat - Luxembourg - juin 2006 - section B - I.1

Question:

Dans le champ des complexes, on donne $z\text{'}=\frac{2z-3i}{\mathrm{iz}-6}$ avec z=x+yi, avec z∈ℂ-{-6i}

Déterminer et représenter dans le plan de Gauss les ensembles suivants:

$E_1=\left\{M\right(z)/z\in ℂ-\{6i\}$ et $\mathrm{z\text{'}}\in ℝ\}$

$E_1=\left\{M\right(z)/z\in ℂ-\{6i\}$ et $\mathrm{z\text{'}}\in \text{i}ℝ\}$

Réponse:

z'=$\frac{2z-3i}{\mathrm{iz}-6}$, avec z=x+yi, (x,y)∈${ℝ}^2-(0,,-6)\}$

z'=$\frac{2(x+\mathrm{yi})-3i}{i(x+\mathrm{yi})-6}$=$\frac{2x+2\mathrm{yi}-3i}{-y-6+\mathrm{xi}}$.$\frac{-y-6-\mathrm{xi}}{-y-6-\mathrm{xi}}$

= $\frac{-15x+(-2x^2-2y^2-9y+18)i}{{(-y-6)}^2+x^2}$

z' est réel ⇔ -2$x^2-2y^2-9y+18=0$

⇔$x^2+(y^2+2.\frac{9}{4}y+\frac{81}{16})-\frac{81}{16}-9=0$

⇔$x^2+{\left(y+\frac{9}{4}\right)}^2=\frac{225}{16}$

$E_1$est le cercle de centre Ω$\left(0,\frac{9}{4}\right)$ de rayon $\text{r=}\frac{15}{4}$excepté le point d'affixe $\text{-6i}$

z' est imaginaire pur ⇔$\text{15x=0⇔x=0}$

$E_2$ est l'axe imaginaire excepté le point d'affixe $\text{-6i}$