Énoncé:

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation:
$z^3-(1+8i)z^2-(19-15i)z+34+2i$
sachant qu'elle admet une solution réelle.

Prérequis:

  1. $a+bi=0$ $\Leftrightarrow$ $a=0$ et $b=0$
  2. Schéma de Horner
  3. $z=x+iy$ racine de $Z=a+bi$ $\Leftrightarrow$

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 $a\in \mathbb R$ est solution:
 $(a^3-a^2-19a+34)+i(-8a^2+15a+2)=0$
 Si $a$ est solution, il peut remplacer $z$ dans l'équation
 $a^3-a^2-19a+34=0$ (1)
et
$-8a^2+15a+2=0$ (2)
 Utiliser le prérequis 1).
   
 $1$$-1-8i$$-19+15i$$34+2i$
$2$ $2$$2-16i$$-34-2i$
 $1$$1-8i$$-17-i$$0$

On en tire que: $P(z)=(z-2)(z^2+(1-8i)z-17-i)=0$
 Si 2 est solution de $P(z)=z^3-(1+8i)z^2-(19-15i)z+34+2i$, alors $P(z)$ est divisible par $z-2$. Diviser par la méthode de Horner.
 $\Delta=5-12i$
 Racines complexes de $z^2+(1-8i)z-17-i$ :
 $z_1=1+3i$
 $z_2=-2+5i$
 Calculer les racines de $z^2+(1-8i)z-17-i$ (voir prérequis 3).
 $S=\{2;1+3i;-2+5i\}$
 Ne pas oublier la racine 2
 Donner $S$ , la solution complète.
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