Les complexes
Baccalauréat - Luxembourg - juin 2007 - section C - I.2
Énoncé:
Prérequis:
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→ résultats intermédiaires → indications → résumé de la solution → effacer tout |
$\vert z_2\vert = 2$
$tan\phi = -\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\phi$ est dans le 4ième quadrant $z = 2 cis(-\frac{\pi}{6})$ | Donnez le module et l'argument de $z_2$, puis la forme trigonométrique.
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$Z=\frac{2^6cis\frac{3\pi}{12}}{2cis-\frac{\pi}{6}}=32cis\frac{5\pi}{12}$
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Utilisez la formule de Moivre pour calculer la forme trigonométrique de $Z$
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$Z=\frac{2^6cis\frac{\pi}{4}}{2cis-\frac{\pi}{6}}=\frac{2^6(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})}{\sqrt{3}-i}=8\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)+i8\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$
| Reportez-vous à la première fraction et utilisez les valeurs remarquables des fonctions $sin$ et $cos$
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Racines cinquièmes complexes de $z$ :
$u_0=32^{\frac{1}{5}}cis\frac{\frac{5\pi}{12}+2 . 0 . \pi}{5} = 2cis(\frac{\pi}{12})$ $u_1=2cis(\frac{29\pi}{60})$ $u_2=2cis(\frac{53\pi}{60})$ $u_1=2cis(\frac{77\pi}{60})$ $u_2=2cis(\frac{101\pi}{60})$ | Utiliser le prérequis 4 pour calculer les racines cinquièmes complexes de $Z$ sous forme trigonométrique.
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(3)+(1): $x=\pm2$
(3)-(1): $y=\pm1$ (2): $x$ et $y$ de signes contraires d'où: $z = 2-i$ ou $z = -2+i$ | Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
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$S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
| Donner $S$ , la solution complète.
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c)
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