Énoncé:

Soient: $z_1=4cis\frac{\pi}{12}$ et $z_2=\sqrt{3}-i$.
Écrire $Z=\frac{(z_1)^3}{z_2}$ sous forme trigonométrique et algébrique.
Calculer les racines 5ièmes de $Z$

Prérequis:

  1. Cercle trigonométrique et valeurs remarquables
  2. Moivre: $z_1=\rho_1 cis(\theta_1), z_2=\rho_2 cis(\theta_2)$ $\Rightarrow$ $\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}cis(\theta_1-\theta_2)$
  3. Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z=z^m, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^m cis(m\theta)$ .
  4. Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z^m=z, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^\frac{1}{m} cis(\frac{\theta+2k\pi}{m}), k\in \{0,..,m-1\}$ .

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

  $\vert z_2\vert = 2$
 $tan\phi = -\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\phi$ est dans le 4ième quadrant
 $z = 2 cis(-\frac{\pi}{6})$
 Donnez le module et l'argument de $z_2$, puis la forme trigonométrique.
 $Z=\frac{2^6cis\frac{3\pi}{12}}{2cis-\frac{\pi}{6}}=32cis\frac{5\pi}{12}$
Utilisez la formule de Moivre pour calculer la forme trigonométrique de $Z$
 $Z=\frac{2^6cis\frac{\pi}{4}}{2cis-\frac{\pi}{6}}=\frac{2^6(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})}{\sqrt{3}-i}=8\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)+i8\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$
 Reportez-vous à la première fraction et utilisez les valeurs remarquables des fonctions $sin$ et $cos$
 Racines cinquièmes complexes de $z$ :
 $u_0=32^{\frac{1}{5}}cis\frac{\frac{5\pi}{12}+2 . 0 . \pi}{5} = 2cis(\frac{\pi}{12})$
 $u_1=2cis(\frac{29\pi}{60})$
 $u_2=2cis(\frac{53\pi}{60})$
 $u_1=2cis(\frac{77\pi}{60})$
 $u_2=2cis(\frac{101\pi}{60})$
 Utiliser le prérequis 4 pour calculer les racines cinquièmes complexes de $Z$ sous forme trigonométrique.
 (3)+(1): $x=\pm2$
 (3)-(1): $y=\pm1$
 (2): $x$ et $y$ de signes contraires
  d'où:
 $z = 2-i$  ou
 $z = -2+i$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 $S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
 Donner $S$ , la solution complète.
 c)
Image
1
h1
1
h1
1
h1