Énoncé:

Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation:
$(3-2i)z^3-3iz^2+(6+2i)z+(4-6i)=0$
sachant que i est une solution.

Prérequis:

  1. Schéma de Horner
  2. $z=x+iy$ racine de $Z=a+bi$ $\Leftrightarrow$

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 $3-2i$$-3i$$6+2i$$4-6i$
$i$  $2+3i$$2i$$-4+6i$
 $3-2i$$2$$6+4i$$\vert\vert 0$

 L'équation est équivalente à: $(z-i)[(3-2i)z^2+2z+(6+4i)]=0$
 Décomposez le polynôme au moyen du schéma de Horner.
 $\Delta=-100=(10i)^2$
 Racines complexes de $(3-2i)z^2+2z+(6+4i)$ :
 $z_1=\frac{-2+10i}{2(3-2i)}=-1+i$
 $z_2=\frac{-2-10i}{2(3-2i)}=\frac{7}{13}-\frac{17}{13}i$
 Calculer les racines de $(3-2i)z^2+2z+(6+4i)$ (voir prérequis).
 S = $\{i,-1+i,\frac{7}{13}-\frac{17}{13}i\}$
 Écrivez la solution complète.
  $P(z)=(z+1)(z-3i)(z-i)(z+2i)$
 Factorisez (prérequis 3)
 (3)+(1): $x=\pm2$
 (3)-(1): $y=\pm1$
 (2): $x$ et $y$ de signes contraires
  d'où:
 $z = 2-i$  ou
 $z = -2+i$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 $S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
 Donner $S$ , la solution complète.
 c)
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