Énoncé:

Soit le nombre complexe: $z=\frac{8(2-i)}{1+i}-\frac{(-2+2i)^2}{1-i}$.
Écrire z sous forme trigonométrique et calculer ses racines cubiques complexes.

Prérequis:

  1. $i^2=-1$
  2. Connaissance du plan complexe
  3. Moivre: $z_1=\rho_1 cis(\theta_1), z_2=\rho_2 cis(\theta_2)$ $\Rightarrow$ $\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}cis(\theta_1-\theta_2)$
  4. Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z=z^m, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^m cis(m\theta)$ .
  5. Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z^m=z, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^\frac{1}{m} cis(\frac{\theta+2k\pi}{m}), k\in \{0,..,m-1\}$ .

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 $z=\frac{-16i}{(1+i)(1-i)}=-8i$
 Effectuez.
 $\vert z\vert = 8$
 $\phi = -\frac{\pi}{2}$
 $z = 8 cis(-\frac{\pi}{2})$
Donnez le module et l'argument de $-8i$, puis la forme trigonométrique.
 Racines cubiques complexes de $z$ :
$u_0=8^{\frac{1}{3}}cis\frac{-\frac{\pi}{2}+2 . 0 . \pi}{3} = 2cis(-\frac{\pi}{6})$
$u_1=2cis(-\frac{\pi}{2})$
$u_2=2cis(\frac{7\pi}{6})$
 Calculez les racines cubiques complexes de $z$ sous forme trigonométrique.
  $P(z)=(z+1)(z-3i)(z-i)(z+2i)$
Factorisez (prérequis 3)
 (3)+(1): $x=\pm2$
 (3)-(1): $y=\pm1$
 (2): $x$ et $y$ de signes contraires
  d'où:
 $z = 2-i$  ou
 $z = -2+i$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 $S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
 Donner $S$ , la solution complète.
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