les complexes

Énoncé:

Soit le nombre complexe: $z=\frac{8(2-i)}{1+i}-\frac{(-2+2i)^2}{1-i}$.
Écrire z sous forme trigonométrique et calculer ses racines cubiques complexes.

Prérequis:

$i^2=-1$
Connaissance du plan complexe
Moivre: $z_1=\rho_1 cis(\theta_1), z_2=\rho_2 cis(\theta_2)$ $\Rightarrow$ $\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}cis(\theta_1-\theta_2)$
Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z=z^m, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^m cis(m\theta)$ .
Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z^m=z, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^\frac{1}{m} cis(\frac{\theta+2k\pi}{m}), k\in \{0,..,m-1\}$ .

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

$z=\frac{-16i}{(1+i)(1-i)}=-8i$	Effectuez.
$\vert z\vert = 8$ $\phi = -\frac{\pi}{2}$ $z = 8 cis(-\frac{\pi}{2})$	Donnez le module et l'argument de $-8i$, puis la forme trigonométrique.
Racines cubiques complexes de $z$ : $u_0=8^{\frac{1}{3}}cis\frac{-\frac{\pi}{2}+2 . 0 . \pi}{3} = 2cis(-\frac{\pi}{6})$ $u_1=2cis(-\frac{\pi}{2})$ $u_2=2cis(\frac{7\pi}{6})$	Calculez les racines cubiques complexes de $z$ sous forme trigonométrique.
$P(z)=(z+1)(z-3i)(z-i)(z+2i)$	Factorisez (prérequis 3)
(3)+(1): $x=\pm2$ (3)-(1): $y=\pm1$ (2): $x$ et $y$ de signes contraires d'où: $z = 2-i$ ou $z = -2+i$	Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
$S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$	Donner $S$ , la solution complète.
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Les complexes

Baccalauréat - Luxembourg - juin 2007 - section D - II.1