Énoncé:

Soit le polynôme: $P(z)=z^4+(1-2i)z^3+(5-2i)z^2+(5-6i)z-6i$.
Sachant que $P(z)$ admet admet $-1$ et $3i$ comme racines, déterminer toutes les racines de ce polynôme.
Factoriser ensuite $P(z)$

Prérequis:

  1. Schéma de Horner
  2. $z=x+iy$ racine de $Z=a+bi$ $\Leftrightarrow$
  3. Pour factoriser un polynôme $P(z)=az^n+.....$, on écrit: $P(z)=a(z-racine_1)....(z-racine_n)$

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 
 $1$$1-2i$$5-2i$$5-6i$$-6i$
$-1$ $-1$$2i$$-5$$6i$
 $1$$-2i$$5$$-6i$$0$

 $1$$-2i$$5$$-6i$
$3i$ $3i$$-3$$6i$
 $1$$i$$2$$0$

On en tire que: $P(z)=(z+1)(z-3i)(z^2+iz+2)$
 Décomposez P(z) au moyen du schéma de Horner.
 $\Delta=-9=(3i)^2$
 Racines complexes de $z^2+iz+2$ :
 $z_1=\frac{-i+3i}{2}=-2+3i$
 $z_2=\frac{-i-3i}{2}=2-3i$
 Calculer les racines de $z^2+iz+2$ (voir prérequis).
 Racines complexes de $P(z)$ : $-1, 3i, i, -2i$
 Donnez les racines de $P(z)$.
  $P(z)=(z+1)(z-3i)(z-i)(z+2i)$
Factorisez (prérequis 3)
 (3)+(1): $x=\pm2$
 (3)-(1): $y=\pm1$
 (2): $x$ et $y$ de signes contraires
  d'où:
 $z = 2-i$  ou
 $z = -2+i$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 $S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
 Donner $S$ , la solution complète.
 c)
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