Énoncé:

Soit $A(z_1)$, $B(z_2)$, $C(z_3)$ et $D(z_4)$ avec $z_1=\sqrt{2}(1+i)$,$z_2=-\sqrt{2}(1+i)$,$z_3=2-i$ et $z_3=-2+i$ Dans le plan complexe, déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.

Prérequis:

  1. Définitions de quadrilatères

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 Le milieu $M$ de $\lbrack AC \rbrack$ est le point d'affixe :
 $z_M = \frac{\sqrt{2}(1+i)-\sqrt{2}(1+i)}{2}=0$
 Le milieu $N$ de $\lbrack BD \rbrack$ est le point d'affixe :
 $z_M = \frac{2-i-2+i}{2}=0$
 donc $M=N$
 Milieux!$
 Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu: C'est un parallélogramme.
 $AC$ et $BD$ sont les diagonales du quadrilatère $ABCD$. Utilisez les définitions des quadrilatères.
 (1)donne$
  $z=\sqrt{2}(1+i)$ ou $z=-\sqrt{2}(1+i)$
 Résolvez (1) sachant que les solutions sont opposées
 (2)donne$
$z^2=3-4i \Leftrightarrow$
(1) $x^2-y^2 =3$ et (2) $2xy=-4$ et (3) $x^2+y^2=5$
 Utiliser le prérequis (2e point) pour résoudre (2).
 (3)+(1): $x=\pm2$
 (3)-(1): $y=\pm1$
 (2): $x$ et $y$ de signes contraires
  d'où:
 $z = 2-i$  ou
 $z = -2+i$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 $S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
 Donner $S$ , la solution complète.
 c)
Image
1
h1
1
h1
1
h1