Énoncé:

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation:

$z^4-3z^2+16+12i=0$

sachant que $\sqrt{2}(1+i)$ est une racine de cette équation.

Prérequis:

  1. Schéma de Horner
  2. $z=x+iy$ racine de $Z=a+bi$ $\Leftrightarrow$

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 Posons $z^2=t$
 L'équation $t^2-3t+16+12i=0$ admettra alors la solution
 $t=(\sqrt{2}(1+i))^2=4i$
 Poser $z^2=t$
 En utilisant le schéma de Horner, on trouve:
 $(t-4i)(t-3+4i)=0\Leftrightarrow$
 $ t=4i\Leftrightarrowz^2=4i$ (1) ou $t=3-4i\Leftrightarrowz^2=3-4i$ (2) $
 Décomposer par le schéma de Horner et résoudre.
 (1)donne$
  $z=\sqrt{2}(1+i)$ ou $z=-\sqrt{2}(1+i)$
 Résolvez (1) sachant que les solutions sont opposées
 (2)donne$
$z^2=3-4i \Leftrightarrow$
(1) $x^2-y^2 =3$ et (2) $2xy=-4$ et (3) $x^2+y^2=5$
 Utiliser le prérequis (2e point) pour résoudre (2).
 (3)+(1): $x=\pm2$
 (3)-(1): $y=\pm1$
 (2): $x$ et $y$ de signes contraires
  d'où:
 $z = 2-i$  ou
 $z = -2+i$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 $S=\lbrace \sqrt{2}(1+i);-\sqrt{2}(1+i);-2+i;2-i\rbrace$
 Donner $S$ , la solution complète.
 c)
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