Énoncé:

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation:

$z^4+\alphaz^2+\beta+12i=0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

Déterminer $\alpha$ et $\beta$, sachant que $\sqrt{2}(1+i)$ est une racine de cette équation.

Prérequis:

  1. Soit l'équation $p(z)=0$ et $z_1\in\mathbb{C}$ racine de cette équation. Alors $p(z_1)=0$

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 Posons $p(z)=z^4+\alphaz^2+\beta+12i$

 $p(\sqrt{2}(1+i))=0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow-16+\beta+i(4\alpha+12)=0$
 La racine donnée annulle $z^4+\alphaz^2+\beta+12i$
 
$\Leftrightarrow\Bigg\lbrace$ $-16+\beta=0$
$4\alpha+12=0$

$\Leftrightarrow\Bigg\lbrace$ $\beta=16$
$\alpha=-3$
 Passer à un système de deux équations à deux inconnues en $\alpha$ et $\beta$.
 
 
 $Z=2 cis(-\frac{5\pi}{12})$ et $z^2=Z$
  $\Leftrightarrow$ $z=\sqrt{2} cis(-\frac{5\pi}{12})=z^'$ ou $z=\sqrt{2} cis(\frac{7\pi}{12})=z^{''}$
 Utiliser le prérequis (5e point) pour $Z = 2cis(-\frac{5\pi}{6})$.
 c)
 $Re(z^{''})=cos(\frac{7\pi}{12})< 0 $ ; $Im(z^{''})=sin(\frac{7\pi}{12})> 0 $
  d'où on déduit que: $z^{''}=z_2
  donc: $cos(\frac{7\pi}{12})=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ et $sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 Cercle de centre $\Omega(0,\frac{1}{2})$ et de rayon $R=\frac{3}{2}$
 privé du point A(0,-1)
 Est-ce le cercle entier?
 c)
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