Énoncé:
a) Mettre $z_1=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ et $z_2=1+i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.
b) En déduire $z=(\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}})^{2007}$.
c) Mettre $z$ sous forme algébrique.

Prérequis:

  1. Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques.
  2. $z = a+bi$ :
  3. Moivre: $z_1=\rho_1 cis(\theta_1), z_2=\rho_2 cis(\theta_2)$ $\Rightarrow$ $\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}cis(\theta_1-\theta_2)$
  4. Moivre: $z=\rho cis(\theta)= \rho(cos\theta+isin\theta)$ et $Z=z^m, m\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $Z=\rho^m cis(m\theta)$ .

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 a)
 $z_1=\sqrt{2}(-1+i)=\sqrt{2}\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=2 cis(\frac{3\pi}{4})$
 $z_2=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=2cis(\frac{\pi}{3})$
 $z=\frac{z_1}{z_2}=cis(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3})=cis(\frac{5\pi}{12})$
 Passer aux formes trigonométriques (mise en évidence conseillée), puis utiliser le prérequis (3ième point)
 b)
$z^{2007}=(cis(\frac{5\pi}{12}))^{2007}$
 $=cis(2007\frac{5\pi}{12})$
 $=cis(418\cdot2\pi+\frac{\pi}{4})$
 $=cis(\frac{\pi}{4})$
 Utiliser le prérequis (4ième point)
 c)
 $=cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})$
 $=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$
 Valeurs remarquables.
 $Z=2 cis(-\frac{5\pi}{12})$ et $z^2=Z$
  $\Leftrightarrow$ $z=\sqrt{2} cis(-\frac{5\pi}{12})=z^'$ ou $z=\sqrt{2} cis(\frac{7\pi}{12})=z^{''}$
 Utiliser le prérequis (5e point) pour $Z = 2cis(-\frac{5\pi}{6})$.
 c)
 $Re(z^{''})=cos(\frac{7\pi}{12})< 0 $ ; $Im(z^{''})=sin(\frac{7\pi}{12})> 0 $
  d'où on déduit que: $z^{''}=z_2
  donc: $cos(\frac{7\pi}{12})=-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ et $sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
 Utilisez les signes des parties réelles et imaginaires pour identifier les racines et trouver les réponses.
 Cercle de centre $\Omega(0,\frac{1}{2})$ et de rayon $R=\frac{3}{2}$
 privé du point A(0,-1)
 Est-ce le cercle entier?
 c)
Image
1
h1
1
h1
1
h1