Énoncé:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé.
Soit $w=i\frac{z-2i}{z+i}$ avec $z\in \mathbb{C}\backslash\{i\}$
a) Mettre $w$ sous forme algébrique.
b) Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $w$ soit un réel.
c) Faire une figure représentant $E$.

Prérequis:

  1. $i^2=-1$
  2. Pour rendre un dénominateur réel, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugé du dénominateur.
  3. Forme algébrique d'un nombre complexe: $a+bi$, avec $a,b \in\mathbb{R}$
  4. Pour qu'un nombre complexe $a+bi$ soit réel, il faut que sa partie imaginaire $b$ soit nulle.
  5. Équation du cercle.

→ résultats intermédiaires

→ indications

→ résumé de la solution

→ effacer tout

 a)
 $w=i\frac{x+iy-2i}{x+iy+i}=i\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+1)}$
 Remplacer $z$ par $x+iy$, puis mettre numérateur et dénominateur sous forme algébrique.
 $=i\frac{[x+i(y-2)][x-i(y+1)]}{[x+i(y+1)][x-i(y+1)]}$
 Multiplier par le conjugé du dénominateur
 $=\frac{3x}{x^2+(y+1)^2}+i\frac{x^2+y^2+y-2}{x^2+(y+1)^2}$
 Mettre sous forme algébrique $a+bi$
 b)
 $w\in \mathbb{R}\Leftrightarrow I(w)=0 $
 $x^2+y^2-y-2=0$ et $(x,y)\neq(0,-1)$
 Pour qu'un nombre complexe $a+bi$ soit réel, il faut que sa partie imaginaire b soit nulle.
 $x^2+(y-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$ et $(x,y)\neq(0,-1)$
 Équation d'un cercle. Mettre en évidence le centre et le rayon.
 Cercle de centre $\Omega(0,\frac{1}{2})$ et de rayon $R=\frac{3}{2}$
 privé du point A(0,-1)
 Est-ce le cercle entier?
 c)
Image
1
h1
1
h1
1
h1